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下面从梯度与方向导数的关系来解释：

1 方向导数

• 引入

原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数

• 定义

（1）方向导数是个数值。

二维空间情形：

我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。

三维空间计算过程相似；

换句话来说，方向导数就是研究在某一点处的任意方向的变化率~

 

2 梯度

首先我来说，梯度是一个向量，并不是原来方向导数说的那样是一个数，那么这个向量是什么特殊的向量呢？还需要拿出来单独研究，那就是梯度代表的是各个导数中，变化趋势最大的那个方向，下面来介绍~

• • 定义

• 证明

  梯度方向就是方向导数最大的方向，我们看如下：

• 

  只有当Θ为0度的时候()，方向导数最大（左边的式子），也就是说方向导数什么情况下最大，就是它的方向(,)（这个方向公式中表示用x,y轴的线性组合表示了）和梯度方向一样()（平行）的时候，这个方向导数是最大的....换句话也可以说，方向导数任意方向一定有个变化率最大的方向，这个时候，我们把这个最大的方向定义为梯度方向~

作者：忆臻

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来源：知乎

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